Papyrus Rhind
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Le papyrus Rhind est un célèbre papyrus de la Deuxième Période intermédiaire qui a été écrit par le scribe Ahmès.
Son nom vient de l'Écossais Alexander Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louxor, mais il aurait été découvert par des pilleurs sur le site de la ville voisine de Thèbes. Depuis 1865, il est conservé au British Museum (à Londres). Avec le papyrus de Moscou, il est une des sources les plus importantes concernant les connaissances mathématiques dans l'Égypte antique.
Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens remontant au Moyen Empire (vers 2000 av. J.-C.)cite-ref-1[note 1]. Le papyrus Rhind contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de cinq mètres de longueur et trente-deux centimètres de large. Il est rédigé en écriture hiératique.
Contents
• Usage
• Contenu
• Notes
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Le papyrus
Description
Le papyrus Rhind se présentait à l'origine comme un rouleau constitué de quatorze feuilles soigneusement assembléescite-ref-spalinger1990298-2-0[1]. Il est actuellement séparé en deux bandes de 32 cm de hauteur, l'une de 299,5 cm de long (BM 10057) et l'autre de 195,5 cm de long (BM 10058) toutes deux conservées au British Museum qui les a acquises en 1865, auprès de l'exécuteur testamentaire d'Alexander Henry Rhind. Ces bandes étaient à l'origine solidaires et reliées par un morceau manquant de 18 cm. Des fragments de ce dernier ont été identifiés aux États-Unis en 1922 par Percy Edward Newberry, ils se trouvent aujourd'hui au Brooklyn Museum à New Yorkcite-ref-clagett1999113-114-3-0[2]. Malgré quelques lacunes, le papyrus est quasiment completcite-ref-spalinger1990298-2-1[1]. Il se déroule en une succession de pages de la droite vers la gauche, écrites en hiératique (également de la droite vers la gauche). Le recto du papyrus est presque entièrement utilisé, avec quelques parties intermédiaires laissées vierges. Le verso est utilisé sur la première section (BM 10058), celle la plus à droite dans l'ordre de lecture, mais ne l'est pas sur la seconde section (BM 10057), en dehors de quelques inscriptions ajoutées vraisemblablement après la composition originellecite-ref-spalinger1990302-et-299-4-0[3].
Découverte
Selon l'édition du fac-similé du papyrus publiée en 1898 par le British Museum, celui-ci a été découvert près du Ramesséum sur le site de Thèbes. Les deux principales sections, probablement découpées par les pilleurs, ont été achetées en 1858 par Rhind (à Louxor), les fragments de la petite partie intermédiaire en 1862 ou 1863 par le collectionneur américain Edwin Smithcite-ref-clagett1999113-114-3-1[2].
Origine et datations
Le texte signé par le scribe Ahmès est daté par celui-ci de l'an 33 du règne du pharaon Apophis, souverain Hyksôs de la XVe dynastie, qui règne en Basse-Égypte à Avaris dans la première moitié du XVIe siècle avant notre ère, à la fin de la Deuxième Période intermédiairecite-ref-clagett199916-5-0[4]. Ahmès annonce en introduction que le texte est une copie d'une version précédente datant d'un pharaon dont une partie du nom est effacée, mais qui parait être Amenemhat III, pharaon de la XIIe dynastie qui vivait près de trois siècles auparavant, à l'époque du Moyen Empirecite-ref-6[note 2].
Le papyrus porte au verso, dans la partie centrale de BM 10057, de brèves inscriptions manifestement ajoutées après la composition, et datées de la onzième année du règne d'un pharaon inconnucite-ref-spalinger200523-7-0[5]. Elles font référence aux événements ayant conduit à la chute d'Avaris (celle-ci même n'est pas mentionnée) qui marque la fin des souverains Hyksôs chassés d'Égypte par le souverain de Thèbes (et futur pharaon de l'Égypte réunifiée) Ahmôsis. Leur interprétation est objet de débatscite-ref-spalinger1990335-8-0[6]. Si ces inscriptions ont été ajoutées avant le transfert du papyrus à Thèbes, la date pourrait renvoyer au règne de Khamoudy dernier roi Hyksôs de Basse-Égypte. Le papyrus aurait alors pu être apporté d'Avaris à Thèbes par l'armée victorieuse d'Ahmôsis, ce qui explique alors la découverte dans la capitale de la Haute-Égypte d'un papyrus originaire de Basse-Égyptecite-ref-spalinger1990335-336-9-0[7]cite-ref-spalinger200523-24-10-0[8].
Usage
Tant la taille que le soin apporté à la composition et le peu d'erreurs relevées dans le texte témoignent de la qualité du document, qui est probablement un manuel de référence de haut niveau utilisé pour enseigner dans une école de scribescite-ref-spalinger1990298-2-2[1]cite-ref-imhausen200722-11-0[9]. En cela il est très différent du papyrus de Moscou, la seconde source en importance pour les mathématiques égyptiennes du Moyen Empire, plus ancien mais qui ressemble plutôt à une copie d'étudiant d'un manuel comparable au papyrus Rhindcite-ref-spalinger1990298-2-3[1].
Application
Le papyrus oriente ces problèmes notamment pour aider à la quantification de grain ou à une répartition équitable ou inéquitable des pains parmi les hommes.
Toutefois les calculs exhibés auraient pu prendre un sens très concret pour des mesures qui cumulent des rapports de un à n, même si ces questions ne sont pas explicitement abordées par le papyrus :
• Pour les mesures de distance, les formules de calcul ont pu avoir du sens pour mesurer des distances si les Égyptiens connaissaient les formes élémentaires de théorème de Thalès déjà connues depuis la Première dynastie de Babylone entre 1900 et 1600 avant notre ère, d'après la tablette MLC 1950cite-ref-12[10].
• Pour les mesures de poids, les formules de calcul ont pu avoir du sens si les Égyptiens ont connu des formes rudimentaires de balance romaine, chaque rapport de 1 à n pouvait être considéré comme une mesure.
Contenu
Après une large bordure verticale qui contient entre autres le titre, la date et le nom de l'auteurcite-ref-imhausen201666-67-13-0[11]cite-ref-chacemanningarchibald1927-14-0[12], le papyrus est divisé recto et verso par sept lignes noires en six bandes horizontalescite-ref-imhausen201666-67-13-1[11]. L'écriture est réalisée à l'encre noire et à l'encre rouge. Cette dernière sert à mettre en valeur les débuts de section et certains points du textecite-ref-imhausen201666-67-13-2[11].
Depuis la première édition d'August Eisenlohrcite-ref-eisenlohr1877-15-0[13], le papyrus est traditionnellement divisé, outre le bloc de titre, en une table de divisions de 2 par n, pour un entier impair n variant de 3 à 101, suivie de 87 blocs traditionnellement appelés « problèmes », numérotés de 1 à 87cite-ref-imhausen201666-67-13-3[11], auxquels s'ajoutent 7B, 59B, 61B, et 82B.
Cependant, les numéros 85 à 87 n'ont pas de contenu mathématique, et ce sont des additions ultérieurescite-ref-spalinger1990334-16-0[14]. Le numéro 85 est un assemblage incompréhensible de signescite-ref-imhausen201666-67-13-4[11], le numéro 86 rassemble des fragments de compte résultant d'une réparation ancienne avec réemploi d'un autre papyruscite-ref-robinsshute198710-17-0[15] et les quelques notes du numéro 87 évoquent la prise d'Avaris par Ahmôsiscite-ref-spalinger1990335-8-1[6].
Les numéros 7 à 20 et le numéro 61 sont eux plutôt des calculs, qui pourraient servir à la création de tables, les numéros 80 et 81 sont plutôt des tables, et les numéros 82 à 84 des modèles de comptecite-ref-imhausen201666-67-13-5[11].
Restent donc 64 vrais problèmes, et même 66 avec les numéros 59B et 61Bcite-ref-imhausen201666-67-13-6[11].
Table de divisions de 2
La table d'expressions de 2 donne la division de 2 par un nombre impair compris entre trois et cent-un, sous la forme de somme de fractions de l'unité, en maintenant un diviseur assez faible.
Pour chacun des diviseurs, une formule similaire est ainsi proposée :
2 n = 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 a 4 {\displaystyle {\frac {2}{n}}={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+{\frac {1}{a_{3}}}+{\frac {1}{a_{4}}}}
Mais parfois, la formule peut n'être écrite qu'avec deux ou trois opérandes, au lieu de quatre.
D'une manière plus moderne, le problème peut s'écrire :
2 N − − x = x P P C M ( N , N − − x ) {\displaystyle {\frac {2}{N-x}}={\frac {x}{PPCM(N,N-x)}}} avec
x = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 {\displaystyle x=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}
x i divise N {\displaystyle x_{i}\ {\text{divise}}\ N} de sorte que : P P C M ( N , N − − x ) = x i a i {\displaystyle PPCM(N,N-x)=x_{i}a_{i}}
x i ≠ ≠ x j {\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}
Cette formule montre que la solution dépend de la divisibilité du n {\displaystyle n} .
Cette formule conduit généralement à ce que a soit supérieur (ou égal à n), et à ce que a soit généralement un nombre composé : les nombres 12, 20, 24, 30, 40 et 60 qui sont multiples de 2, 3, 4, ou 5 reviennent facilement.
Les connaissances modernes permettent de savoir qu'un nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières comme la somme de fractions de l'unité.
Plusieurs personnes se sont demandé comment les Égyptiens avaient pu obtenir cette table.
Des suggestions de Gillings ont proposé cinq techniques différentes. Le problème 61 du Papyrus Rhind donne une formule : 2 3 n = 1 2 n + 1 6 n {\displaystyle {\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}} cite-ref-clagett1999-18-0[16], dont on peut déclarer qu'elle est l'équivalent de 2 n = 1 2 1 n + 3 2 1 n {\displaystyle {\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}} (n divisible par 3 dans la dernière équation)cite-ref-burton2003-19-0[17].
On compte d'autres possibles formules, telles quecite-ref-burton2003-19-1[17] :
2 n = 1 3 1 n + 5 3 1 n {\displaystyle {\frac {2}{n}}={\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}} (n divisible par 5)
2 m n = 1 m 1 k + 1 n 1 k {\displaystyle {\frac {2}{mn}}={\frac {1}{m}}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n}}{\frac {1}{k}}} (où k est la moyenne de m et de n)
2 n = 1 n + 1 2 n + 1 3 n + 1 6 n {\displaystyle {\frac {2}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}} Cette formule porte la décomposition pour n = 101 dans la table.
David M. Burton a suggérécite-ref-burton2003-19-2[17] qu'Ahmès a utilisé deux méthodes différentes pour convertir 2/p (où p est un nombre premier), et trois méthodes pour convertir 2/pq dénominateurs composés. D’autres suggestions proposent qu'Ahmès qui n'a utilisé qu'une seule méthode : l'emploi de facteurs multiplicatifs réductibles au plus petit commun multiple[réf. nécessaire].
Algorithmes de multiplication et division (problèmes 1 à 23)
Ces problèmes permettent de comprendre les techniques de multiplication et de division chez les Égyptiens.
Résolution d'équations par la méthode de fausse position (problèmes 24 à 34)
Les problèmes de calculs d'aires et de volumes (problèmes 41 à 55)
L'arpentage, mesure des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés sont également abordés : aires planes (rectangles, triangles, trapèzes, disque), volumes de greniers à grains (parallélépipèdes, cylindres).
Au problème 50, Ahmes expose une procédure pour calculer l'aire d'un disque connaissant son diamètre : au diamètre est soustrait 1/9 de celui-ci, puis le résultat est élevé au carré. La méthode est exposée pour un diamètre ad hoc de 9 khet, ce qui donne une aire de 64 setjatcite-ref-imhausen2016118-119-20-0[18]cite-ref-clagett199974-21-0[19]. On peut y voir une première approche de la quadrature du cercle, la construction d'un carré de même aire qu'un disque donné : l'aire du disque de diamètre d est ramenée à celle d'un carré de côté 8d/9.
En d'autres termes, l'aire d'un disque de diamètre 9 unités est sensiblement égale à celle d'un carré de 8 unités de côtécite-ref-clagett199974-21-1[19]. Pour se faire une meilleure idée du degré de précision ainsi obtenu, on peut remarquer que cette construction correspond implicitement à une approximation de notre nombre π pour le calcul de l'aire du disquecite-ref-22[note 3] de 256/81 ≈ 3,160cite-ref-23[note 4]. Ce qui correspond à une erreur relative de l'ordre de 0,6 %cite-ref-michel2023336-24-0[20].
Les problèmes de calculs de la pente des faces de pyramides (problèmes 56 à 60)
Les problèmes 56, 57, 58, 59 et 60, sont consacrés à des calculs relatifs à la pente des faces de pyramide régulière à base carrée, mesurée par leur seqed (sḳd), qui correspond à la demi base de la pyramide divisée par sa hauteur, autrement dit il s'agit de la cotangente de l'angle que forme la ligne de plus grande pente d'une face avec l'horizontale. Le seqed est mesuré par le déplacement horizontal nécessaire pour rejoindre la face après une élévation verticale d'une coudéecite-ref-rossi2007185-28-0[23], il s'exprime donc avec les unités de longueur en usage, coudée, paume, le septième d'une coudée, et doigt qui vaut le quart d'une paume. Pour quatre de ces problèmes le seqed est de cinq paumes et un doigt. La cotangente est donc de (1/7) × (5+1/4) = 3/4,ce qui correspond à une pente de 4/3, soit à un angle des faces de 53,13°cite-ref-michel2023419-29-0[24].
Le triangle rectangle correspondant à cette pente, de côtés de l'angle droit proportionnels à trois et quatre, est donc un triangle 3-4-5. Cependant le papyrus Rhind ne traite que de la pente, et de fait le triangle 3-4-5 n'y est jamais mentionnécite-ref-rossi2007218-30-0[25]. Cette inclinaison a été clairement choisie pour certaines pyramides de la VIe dynastie, dont la base a pour côté cent-cinquante coudées et la hauteur cent coudées. Sans que ce soit aussi manifestement intentionnel, celle de la pyramide de Khéphren en est prochecite-ref-rossi2007219-31-0[26]. Il est tout à fait possible que le triangle et ses proportions aient été remarqués ; celles-ci facilitent la réalisation d'équerres triangulaires en bois qui auraient pu être utilisées pour vérifier la pente, mais cela reste hypothétiquecite-ref-rossi2007221-32-0[27].
Contenu détaillé
Le papyrus se compose de quatre sections : une page de titre, la table 2/n, un petit « tableau 1-9/10 » et 91 problèmes. Ces derniers sont numérotés de 1 à 87 et comprennent quatre éléments mathématiques qui ont été désignés par les modernes comme problèmes 7B, 59B, 61B et 82B. Les numéros 85 à 87, quant à eux, ne sont pas des éléments mathématiques faisant partie du corps du document, mais sont respectivement : une petite phrase terminant le document, un morceau de « papier brouillon » utilisé pour maintenir le document ensemble (contenant un écrit sans rapport), et une note historique qui est censée décrire une période peu de temps après l'achèvement du corps du papyrus. Ces trois derniers éléments sont écrits sur des zones disparates du verso du papyrus, loin du contenu mathématique. Chace les différencie donc en les qualifiant de « numéros » par opposition à « problèmes », comme les 88 autres éléments numérotés.
Notes et références
Notes
cite-note-1note 1. ↑ D'après le copiste, le papyrus d'origine dont le papyrus Rhind est la copie remonte à l'époque du pharaon Amenemhat III. Thomas Heath la fait remonter vers 2200 av. J.-C. (heath1921thomas-heath1921Thomas Heath, « Egyptian geometry i.e. mensuration », dans A history of Greek mathematics, vol. 1 From Thales to Euclid, Oxford, At the Clarendon press, 1921 (lire en ligne), p. 122). Cependant la critique fait remonter cet original entre 1849 à 1801 av. J.-C.
cite-note-6note 2. ↑ Il ne s'agit pas nécessairement d'une copie exacte, certains spécialistes discutent que la copie ne concernerait qu'une partie du papyrus (Spalinger 1990, p. 303 et 320), et de ce que le nom d'Amenemhat III, qui est en partie reconstitué à cause d'une lacune, l'est correctement (Spalinger 1990, p. 303). La composition du traité, ses dimensions également, renvoient cependant plutôt au Moyen Empire (Spalinger 1990, p. 337), époque dont datent les autres papyrus mathématiques hiératiques qui nous sont parvenus (Imhausen 2007, p. 12).
cite-note-22note 3. ↑ Il n'est pas question de la circonférence du cercle dans le papyrus Rhind (Imhausen 2016, p. 118).
cite-note-27note 5. ↑ 1/9, noté 9 par Imhausen 2016, p. 118-120 et d'autres égyptologues, est à comprendre comme l'inverse de 9 et non comme une fraction moderne de numérateur 1.
Références
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cite-note-imhausen201666-67-1311. Imhausen 2016, p. 66-67.
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cite-note-clagett1999-1816. ↑ Clagett 1999.
cite-note-burton2003-1917. Burton 2003.
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cite-note-rossi2007218-3025. ↑ Rossi 2007, p. 218.
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Voir aussi
Bibliographie
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Articles connexes
• Tablettes de bois du Caire (en)
Liens externes
• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes : Britannica Gran Enciclopèdia Catalana Internetowa encyklopedia PWN
• Notices d'autorité : GND
• (en) Le papyrus Rhind, sur le site du British Museum : BM 10058 et BM 10057
• (en) « Collections: Egyptian, Classical, Ancient Near Eastern Art: Fragments of Rhind Mathematical Papyrus », Brooklyn Museum (consulté le 25 novembre 2013)
• guillemotaustinmichel-guillemotdaniel-austinMichel Guillemot et Daniel Austin, « Papyrus Rhind : Edition commentée du Papyrus Rhind »
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